定積分 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値記号 $|x|$ が含まれているので、積分区間を $x < 0$ と $x \geq 0$ で分割します。

$x \geq 0$ のとき $|x| = x$ であり、$x < 0$ のとき $|x| = -x$ です。

したがって、与えられた積分は次のように分割できます。

$\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx = \int_{-1}^{0} (3x^2 - (-x) + 1) dx + \int_{0}^{1} (3x^2 - x + 1) dx$

$= \int_{-1}^{0} (3x^2 + x + 1) dx + \int_{0}^{1} (3x^2 - x + 1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} (3x^2 + x + 1) dx = [x^3 + \frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{0} = (0) - ((-1)^3 + \frac{(-1)^2}{2} + (-1)) = 0 - (-1 + \frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = 0 - (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$

$\int_{0}^{1} (3x^2 - x + 1) dx = [x^3 - \frac{x^2}{2} + x]_{0}^{1} = ((1)^3 - \frac{(1)^2}{2} + 1) - (0) = 1 - \frac{1}{2} + 1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (3x^2 - |x| + 1) dx = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$

3. 最終的な答え

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