整式 $3x^3 + 4x^2 + 4x + 8$ をある整式 $B$ で割ると、商が $3x + 1$、余りが $7$ になるという。このとき、整式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $3x^3 + 4x^2 + 4x + 8$ をある整式 $B$ で割ると、商が $3x + 1$、余りが $7$ になるという。このとき、整式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の基本的な関係式は、

（割られる数）＝（割る数）×（商）＋（余り）

である。今回の問題では、割られる数が $3x^3 + 4x^2 + 4x + 8$、割る数が $B$、商が $3x + 1$、余りが $7$ である。

したがって、

$3x^3 + 4x^2 + 4x + 8 = B(3x+1) + 7$

が成り立つ。

$B$ について解くために、まずは $7$ を左辺に移項する。

$3x^3 + 4x^2 + 4x + 8 - 7 = B(3x+1)$

$3x^3 + 4x^2 + 4x + 1 = B(3x+1)$

次に、両辺を $3x+1$ で割る。

$B = \frac{3x^3 + 4x^2 + 4x + 1}{3x+1}$

ここで、割り算を実行する。

$3x^3 + 4x^2 + 4x + 1$ を $3x+1$ で割ると、商は $x^2 + x + 1$、余りは $0$ となる。

したがって、$B = x^2 + x + 1$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + x + 1$