整式 $4x^4 + 7x^2 + x + 15$ をある整式 $B$ で割ると、商が $2x^2 + 3x + 4$、余りが $x - 1$ になるとき、整式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $4x^4 + 7x^2 + x + 15$ をある整式 $B$ で割ると、商が $2x^2 + 3x + 4$、余りが $x - 1$ になるとき、整式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係から、以下の式が成り立ちます。

$4x^4 + 7x^2 + x + 15 = B(2x^2 + 3x + 4) + (x - 1)$

この式を変形して、$B$ を求める式にします。

$B(2x^2 + 3x + 4) = 4x^4 + 7x^2 + x + 15 - (x - 1)$

$B(2x^2 + 3x + 4) = 4x^4 + 7x^2 + x + 15 - x + 1$

$B(2x^2 + 3x + 4) = 4x^4 + 7x^2 + 16$

両辺を $2x^2 + 3x + 4$ で割ることで、$B$ を求めます。

$B = \frac{4x^4 + 7x^2 + 16}{2x^2 + 3x + 4}$

筆算または多項式除算を用いて、上記を計算します。

```

2x^2 - 3x + 2

2x^2+3x+4 | 4x^4 + 0x^3 + 7x^2 + 0x + 16

-(4x^4 + 6x^3 + 8x^2)

-------------------------

-6x^3 - x^2 + 0x

-(-6x^3 - 9x^2 - 12x)

-------------------------

8x^2 + 12x + 16

-(8x^2 + 12x + 16)

-------------------------

0

```

計算の結果、$B = 2x^2 - 3x + 2$ となります。

3. 最終的な答え

$B = 2x^2 - 3x + 2$