$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ であるから、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$ となる。

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ を代入すると、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{5})^2 - 2 = 5 - 2 = 3$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$ であるから、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$ となる。

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ を代入すると、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{5})^3 - 3(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^4} = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$ であるから、

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2$ となる。

(1)より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ であるから、

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $2\sqrt{5}$

(3) 7