$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$ $b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ca + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$ $c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

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1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解せよ。

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2. 解き方の手順

1. 式を展開する：

$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$

$b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ca + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$

$c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

2. 展開した式をすべて足し合わせる：

$ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

3. 同類項をまとめる：

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b - 6abc + 8abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

4. 因数分解しやすいように式を整理する：

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

5. $(b+c)$を共通因数としてくくり出す：

$(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

6. 括弧の中身を因数分解する：

$a^2 + a(b+c) + bc = a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

7. 最終的に因数分解された式を得る：

$(b+c)(a+b)(a+c)$

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3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$