与えられた式 $\qquad {}_nC_0 - 3 {}_nC_1 + 9 {}_nC_2 - \dots + (-3)^n {}_nC_n = (-2)^n$ が正しいことを証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式

$\qquad {}_nC_0 - 3 {}_nC_1 + 9 {}_nC_2 - \dots + (-3)^n {}_nC_n = (-2)^n$

が正しいことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理は次のように表されます。

$\qquad (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^{n-k} y^k = {}_nC_0 x^n + {}_nC_1 x^{n-1} y + {}_nC_2 x^{n-2} y^2 + \dots + {}_nC_n y^n$

問題の式をよく見ると、$x=1$、$y=-3$の時、二項定理の右辺に似ていることがわかります。

そこで、$x=1$、$y=-3$を二項定理に代入すると、次のようになります。

$\qquad (1+(-3))^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k (1)^{n-k} (-3)^k = {}_nC_0 (1)^n + {}_nC_1 (1)^{n-1} (-3)^1 + {}_nC_2 (1)^{n-2} (-3)^2 + \dots + {}_nC_n (-3)^n$

$\qquad (1-3)^n = {}_nC_0 - 3 {}_nC_1 + 9 {}_nC_2 + \dots + (-3)^n {}_nC_n$

$\qquad (-2)^n = {}_nC_0 - 3 {}_nC_1 + 9 {}_nC_2 + \dots + (-3)^n {}_nC_n$

したがって、与えられた式が正しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

${}_nC_0 - 3 {}_nC_1 + 9 {}_nC_2 - \dots + (-3)^n {}_nC_n = (-2)^n$