$a+b+c=0$ のとき、以下の等式を証明する問題です。 (1) $a^2 + ca = b^2 + bc$ (2) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、以下の等式を証明する問題です。

(1) $a^2 + ca = b^2 + bc$

(2) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c=0$ より $c = -a-b$ です。これを与えられた等式の左辺に代入し、右辺と等しくなることを示します。

左辺:

$a^2 + ca = a^2 + a(-a-b) = a^2 - a^2 - ab = -ab$

右辺:

$b^2 + bc = b^2 + b(-a-b) = b^2 - ab - b^2 = -ab$

左辺と右辺が等しいので、等式 $a^2 + ca = b^2 + bc$ は証明されました。

(2) $a+b+c = 0$ より $a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ です。これを与えられた等式の左辺に代入します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = ab(-c) + bc(-a) + ca(-b) + 3abc = -abc - abc - abc + 3abc = -3abc + 3abc = 0$

よって、与えられた等式は $0 = 0$ となり、証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + ca = b^2 + bc$ は証明されました。

(2) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$ は証明されました。