ベクトル $\overrightarrow{AC}$ に垂直な単位ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\overrightarrow{AC}$ に垂直な単位ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\overrightarrow{AC}$ が与えられていないため、$\overrightarrow{AC}$ の成分を仮定します。ここでは、$\overrightarrow{AC} = (a, b)$ とします。

$\overrightarrow{AC}$ に垂直なベクトルを $\overrightarrow{v}$ とすると、$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{v}$ の内積は0になります。つまり、

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{v} = 0$

$\overrightarrow{v} = (-b, a)$ とすれば、

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{v} = (a, b) \cdot (-b, a) = -ab + ba = 0$

となるので、$\overrightarrow{v} = (-b, a)$ は $\overrightarrow{AC}$ に垂直なベクトルの一つです。

次に、ベクトル $\overrightarrow{v} = (-b, a)$ を単位ベクトルにするために、$\overrightarrow{v}$ の大きさを計算します。

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-b)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

したがって、$\overrightarrow{AC}$ に垂直な単位ベクトルは、$\overrightarrow{v}$ をその大きさで割ったものになります。

$\overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} = \frac{(-b, a)}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \left( \frac{-b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$

もう一つの解は、$\overrightarrow{v}$ の向きを反転させたものになります。

$-\overrightarrow{u} = \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{-a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AC} = (a, b)$ とすると、$\overrightarrow{AC}$ に垂直な単位ベクトルは、

$\left( \frac{-b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$ または $\left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{-a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$

となります。

ベクトル $\overrightarrow{AC}$ の具体的な成分が与えられていないため、これが最終的な答えとなります。