平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3等分する点のうちCに近い点をEとする。直線AEと直線BDの交点をFとするとき、AF:AEを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3等分する点のうちCに近い点をEとする。直線AEと直線BDの交点をFとするとき、AF:AEを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とおく。

点Eは辺BCを3等分する点のうちCに近い点なので、

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{BC} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{AD} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$

点Fは直線AE上にあるので、実数$s$を用いて、

$\vec{AF} = s\vec{AE} = s\vec{b} + \frac{2}{3}s\vec{d}$

また、点Fは直線BD上にあるので、実数$t$を用いて、

$\vec{AF} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AD} = (1-t)\vec{b} + t\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$s = 1-t$

$\frac{2}{3}s = t$

これを解くと、

$s = 1 - \frac{2}{3}s$

$\frac{5}{3}s = 1$

$s = \frac{3}{5}$

したがって、

$\vec{AF} = \frac{3}{5}\vec{AE}$

よって、$AF:AE = 3:5$

3. 最終的な答え

$AF:AE = 3:5$