$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OB$ を $2:3$ に内分する点を $N$ とする。2直線 $AN$ と $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP} = \vec{p}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OB$ を $2:3$ に内分する点を $N$ とする。2直線 $AN$ と $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP} = \vec{p}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が直線 $AN$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$

と表せる。

$N$ は $OB$ を $2:3$ に内分する点なので、$\overrightarrow{ON} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OB} = \frac{2}{5}\vec{b}$ となる。

よって、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + s\left(\frac{2}{5}\vec{b}\right) = (1-s)\vec{a} + \frac{2}{5}s\vec{b}$

となる。

次に、点 $P$ が直線 $BM$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OM}$

と表せる。

$M$ は $OA$ の中点なので、$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$ となる。

よって、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{b} + t\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) = \frac{1}{2}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

となる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{2}t$

$\frac{2}{5}s = 1-t$

が成り立つ。

これらの式を解く。

$t = 2 - \frac{4}{5}s$ を $1-s = \frac{1}{2}t$ に代入すると

$1-s = \frac{1}{2}\left(2 - \frac{4}{5}s\right)$

$1-s = 1 - \frac{2}{5}s$

$s = \frac{2}{5}s$

$\frac{3}{5}s = 0$

となり、$s=0$ となるが、これは適切ではない。（PがOと一致してしまう）

計算ミスがあった。

$\frac{2}{5}s = 1-t$ を $t$ について解くと

$t = 1-\frac{2}{5}s$

$1-s = \frac{1}{2}t$ に代入

$1-s = \frac{1}{2}(1-\frac{2}{5}s)$

$1-s = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}s$

$\frac{1}{2} = \frac{4}{5}s$

$s = \frac{5}{8}$

これを $t = 1 - \frac{2}{5}s$ に代入すると

$t = 1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

よって、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{2}{5}s\vec{b} = \left(1-\frac{5}{8}\right)\vec{a} + \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{8}\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}t\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\vec{a} + \left(1-\frac{3}{4}\right)\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$