平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$としたとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$としたとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの位置ベクトルを求める。

点Dは線分ACを2:1に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OC}}{2 + 1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$

(2) 点Eの位置ベクトルを求める。

点Eは線分ABを2:1に外分するので、

$\vec{OE} = \frac{-1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB}}{2 - 1}$

$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{a} + \vec{c}$ より、

$\vec{OE} = \frac{-1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot (\vec{a} + \vec{c})}{1} = \vec{a} + 2\vec{c}$

(3) $\vec{OE}$ が $\vec{OD}$ の定数倍であることを示す。

$\vec{OE} = \vec{a} + 2\vec{c} = 3(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}) = 3\vec{OD}$

$\vec{OE} = 3\vec{OD}$ より、$\vec{OE} = k\vec{OD}$ （kは実数）と表せる。

したがって、3点O, D, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点O, D, Eは一直線上にある。