平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をP、辺CDの中点をQとする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$とするとき、3点B, P, Qが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をP、辺CDの中点をQとする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$とするとき、3点B, P, Qが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{BP}$と$\vec{BQ}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

点Pは線分ACを2:1に内分するので、$\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{AC}$である。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b}$なので、

$\vec{AP} = \frac{2}{3}(-\vec{a} + \vec{b})$となる。

したがって、

$\vec{BP} = \vec{BA} + \vec{AP} = \vec{a} + \frac{2}{3}(-\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{BP} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$ ...(1)

次に、点Qは辺CDの中点なので、$\vec{CQ} = \frac{1}{2}\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{BA} = \frac{1}{2}\vec{a}$となる。

よって、

$\vec{BQ} = \vec{BC} + \vec{CQ} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{BQ} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$ ...(2)

ここで、$\vec{BQ} = k\vec{BP}$となるような実数kが存在することを示す。

(1)より$\vec{BP} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$なので、

$k\vec{BP} = k(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = \frac{k}{3}\vec{a} + \frac{2k}{3}\vec{b}$となる。

これが$\vec{BQ} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$と等しくなるためには、

$\frac{k}{3} = \frac{1}{2}$ かつ $\frac{2k}{3} = 1$が必要である。

$\frac{k}{3} = \frac{1}{2}$より$k = \frac{3}{2}$であり、

$\frac{2k}{3} = 1$より$k = \frac{3}{2}$である。

したがって、$k = \frac{3}{2}$のとき、$\vec{BQ} = \frac{3}{2}\vec{BP}$となる。

これは、$\vec{BQ}$と$\vec{BP}$が平行であることを意味し、かつ点Bを共有するので、3点B, P, Qは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点B, P, Qは一直線上にある。