一辺の長さが $l$ の正四面体OABCにおいて、辺OA, BCの中点をそれぞれM, Nとする。 (1) 内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の値を $l$ で表す。 (2) $\vec{OA} \perp \vec{BC}$ であることを証明する。 (3) $|\vec{MN}|$ を $l$ で表す。 (4) $\vec{MN}$ と $\vec{OB}$ のなす角を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $l$ の正四面体OABCにおいて、辺OA, BCの中点をそれぞれM, Nとする。

(1) 内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の値を $l$ で表す。

(2) $\vec{OA} \perp \vec{BC}$ であることを証明する。

(3) $|\vec{MN}|$ を $l$ で表す。

(4) $\vec{MN}$ と $\vec{OB}$ のなす角を求める。

2. 解き方の手順

(1)

正四面体OABCなので、$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = l$ であり、$\angle AOB = 60^\circ$ である。

よって、内積は以下のように計算できる。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos{60^\circ} = l \cdot l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l^2}{2}$

(2)

$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = \vec{OA} \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OC} - \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

同様に、正四面体OABCなので、$|\vec{OA}| = |\vec{OC}| = l$ であり、$\angle AOC = 60^\circ$ である。

よって、$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = |\vec{OA}| |\vec{OC}| \cos{60^\circ} = l \cdot l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l^2}{2}$

したがって、$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = \frac{l^2}{2} - \frac{l^2}{2} = 0$

よって、$\vec{OA} \perp \vec{BC}$ である。

(3)

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) - \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA})$

$|\vec{MN}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA}|^2 = \frac{1}{4}(\vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA})$

$= \frac{1}{4} (|\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 + |\vec{OA}|^2 + 2\vec{OB} \cdot \vec{OC} - 2\vec{OB} \cdot \vec{OA} - 2\vec{OC} \cdot \vec{OA})$

$= \frac{1}{4}(l^2 + l^2 + l^2 + 2\frac{l^2}{2} - 2\frac{l^2}{2} - 2\frac{l^2}{2}) = \frac{1}{4}(3l^2 + l^2 - l^2 - l^2) = \frac{1}{4}(2l^2) = \frac{l^2}{2}$

$|\vec{MN}| = \sqrt{\frac{l^2}{2}} = \frac{l}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}l$

(4)

$\vec{MN} \cdot \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA}) \cdot \vec{OB} = \frac{1}{2}(|\vec{OB}|^2 + \vec{OC} \cdot \vec{OB} - \vec{OA} \cdot \vec{OB})$

$= \frac{1}{2}(l^2 + \frac{l^2}{2} - \frac{l^2}{2}) = \frac{1}{2}l^2$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{OB}}{|\vec{MN}| |\vec{OB}|} = \frac{\frac{1}{2}l^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}l \cdot l} = \frac{\frac{1}{2}l^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}l^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ (45度)

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{l^2}{2}$

(2) $\vec{OA} \perp \vec{BC}$ (証明完了)

(3) $|\vec{MN}| = \frac{\sqrt{2}}{2}l$

(4) $\vec{MN}$ と $\vec{OB}$ のなす角は $\frac{\pi}{4}$ (45度)