3点 $A(2, 2, 0)$, $B(2, -3, \sqrt{5})$, $C(1, -1, 0)$ が与えられたとき、$\angle ACB = \theta$ とする。 (1) ベクトル $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ を成分で表す。 (2) $\theta$ の値を求める。 (3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(2, 2, 0)$, $B(2, -3, \sqrt{5})$, $C(1, -1, 0)$ が与えられたとき、$\angle ACB = \theta$ とする。

(1) ベクトル $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ を成分で表す。

(2) $\theta$ の値を求める。

(3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ を成分で表す。

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = (2, 2, 0) - (1, -1, 0) = (1, 3, 0)$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (2, -3, \sqrt{5}) - (1, -1, 0) = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) $\theta$ の値を求める。

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \cos{\theta}$ より、

$\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}|}$

まず、内積を計算する。

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1)(1) + (3)(-2) + (0)(\sqrt{5}) = 1 - 6 + 0 = -5$

次に、ベクトルの大きさを計算する。

$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

$|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 4 + 5} = \sqrt{10}$

したがって、

$\cos{\theta} = \frac{-5}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$

(3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \sin{\theta}$

$\sin{\theta} = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} (\sqrt{10})(\sqrt{10}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} (10) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{CA} = (1, 3, 0)$, $\overrightarrow{CB} = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\triangle ABC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$