全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$、$B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めよ。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$ (7) $\overline{A \cap B}$ (8) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$、$B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めよ。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

(7) $\overline{A \cap B}$

(8) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、補集合、共通部分、和集合の定義を確認する。

- 補集合: $\overline{A}$ は $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合。

- 共通部分: $A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合。

- 和集合: $A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の集合。

(1) $\overline{A}$: $A = \{2, 3, 5, 7\}$ なので、$U$ の要素から $A$ の要素を取り除くと、$\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B}$: $B = \{3, 4, 5\}$ なので、$U$ の要素から $B$ の要素を取り除くと、$\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap \overline{B}$: $A = \{2, 3, 5, 7\}$ と $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$ の共通部分を求めると、$A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(4) $\overline{A \cup B}$: $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ なので、$U$ の要素から $A \cup B$ の要素を取り除くと、$\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B$: $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$ と $B = \{3, 4, 5\}$ の共通部分を求めると、$\overline{A} \cap B = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B}$: これは (3) と同じなので、$A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(7) $\overline{A \cap B}$: $A \cap B = \{3, 5\}$ なので、$U$ の要素から $A \cap B$ の要素を取り除くと、$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $A \cup \overline{B}$: $A = \{2, 3, 5, 7\}$ と $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$ の和集合を求めると、$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(7) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$