次の2つの二次関数の最大値と最小値を求め、グラフを描く問題です。 1. $y = 2x^2 - 8x + 5$

1. 問題の内容

次の2つの二次関数の最大値と最小値を求め、グラフを描く問題です。

1. $y = 2x^2 - 8x + 5$

2. $y = -3x^2 - 6x + 5$

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、頂点を求めます。頂点から最大値または最小値を判断します。

1. $y = 2x^2 - 8x + 5$ の場合

まず、$x^2$の係数でくくります。

$y = 2(x^2 - 4x) + 5$

次に、括弧の中を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 3$

この式から、頂点は$(2, -3)$です。$x^2$の係数が正であるため、下に凸のグラフであり、最小値は$-3$です。最大値は存在しません。

2. $y = -3x^2 - 6x + 5$ の場合

まず、$x^2$の係数でくくります。

$y = -3(x^2 + 2x) + 5$

次に、括弧の中を平方完成します。

$y = -3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -3((x + 1)^2 - 1) + 5$

$y = -3(x + 1)^2 + 3 + 5$

$y = -3(x + 1)^2 + 8$

この式から、頂点は$(-1, 8)$です。$x^2$の係数が負であるため、上に凸のグラフであり、最大値は$8$です。最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

1. $y = 2x^2 - 8x + 5$ の場合：最小値は$-3$ (x=2のとき), 最大値はなし。

2. $y = -3x^2 - 6x + 5$ の場合：最大値は$8$ (x=-1のとき), 最小値はなし。

グラフの概形は、それぞれ上記頂点を基に、放物線を描けばよいです。