初項が30、公差が-4である等差数列 $\{a_n\}$ が与えられている。 (1) 第何項が初めて負の数になるかを求める。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるかを求める。また、その和Sを求める。 (3) 初項から第何項までの和が、初めて負の数になるかを求める。

1. 問題の内容

初項が30、公差が-4である等差数列 $\{a_n\}$ が与えられている。

(1) 第何項が初めて負の数になるかを求める。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるかを求める。また、その和Sを求める。

(3) 初項から第何項までの和が、初めて負の数になるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

$a_n = a_1 + (n-1)d$ より、

$a_n = 30 + (n-1)(-4) = 30 - 4n + 4 = 34 - 4n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$34 - 4n < 0$

$34 < 4n$

$n > \frac{34}{4} = 8.5$

$n$ は整数なので、初めて負になるのは $n=9$ のとき。

(2) 等差数列の和 $S_n$ を求める。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ より、

$S_n = \frac{n}{2}(30 + 34 - 4n) = \frac{n}{2}(64 - 4n) = n(32 - 2n) = 32n - 2n^2$

$S_n$ が最大になるのは、 $S_n$ を平方完成したときの頂点に近い整数である。

$S_n = -2(n^2 - 16n) = -2(n^2 - 16n + 64 - 64) = -2((n-8)^2 - 64) = -2(n-8)^2 + 128$

$n=8$ のとき、$S_n$ は最大値 128 をとる。

(3) $S_n < 0$ となる $n$ を求める。

$S_n = n(32 - 2n) < 0$

$n$ は自然数なので、$n > 0$ 。

$32 - 2n < 0$

$32 < 2n$

$n > 16$

初めて負になるのは $n=17$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) 第9項

(2) 第8項まで, S = 128

(3) 第17項まで