複素数 $\alpha = 2\sqrt{2}(1+i)$ が与えられています。複素数 $z$ が $|z - \alpha| = 2$ を満たすとき、以下の問題を解きます。 (1) 絶対値 $|z|$ が最大となる $z$ を求めます。 (2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、以下のものを求めます。 (i) $\frac{\beta}{\alpha}$ の絶対値と偏角 (ii) $\beta$ とその偏角 (iii) $1 \le n \le 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数になる整数 $n$ の個数

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 2\sqrt{2}(1+i)$ が与えられています。複素数 $z$ が $|z - \alpha| = 2$ を満たすとき、以下の問題を解きます。

(1) 絶対値 $|z|$ が最大となる $z$ を求めます。

(2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、以下のものを求めます。

(i) $\frac{\beta}{\alpha}$ の絶対値と偏角

(ii) $\beta$ とその偏角

(iii) $1 \le n \le 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数になる整数 $n$ の個数

2. 解き方の手順

(1) $|z-\alpha| = 2$ は、複素数平面上で点 $\alpha$ を中心とする半径2の円を表します。

絶対値が最大となる $z$ は、円の中心 $\alpha$ から実軸の正の方向に最も遠い点にあります。つまり、原点から $\alpha$ を通り、円と交わる点のうち、原点から最も遠い点です。

$\alpha = 2\sqrt{2}(1+i) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$ なので、$|\alpha| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$ です。

$z$ は $\alpha$ から距離2だけ離れているので、$|z| = |\alpha| + 2 = 4 + 2 = 6$ となることはありません。$z$は円周上の点なので、$z = \alpha + 2 \cdot \frac{\alpha}{|\alpha|} = \alpha + \frac{\alpha}{2}$の方向に進んだ地点が絶対値最大の点です。

したがって、$z = \alpha + \frac{2\alpha}{|\alpha|} = \alpha + \frac{\alpha}{2} = \frac{3}{2}\alpha = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{2}(1+i) = 3\sqrt{2}(1+i) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(2)

(i) $\alpha = 2\sqrt{2}(1+i) = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}e^{i\pi/4}) = 4e^{i\pi/4}$

$\beta$ は円 $|z-\alpha| = 2$ 上で偏角が最大となる点です。これは円の中心 $\alpha$ から、円に接する直線が原点を通るように引いたとき、その接点になります。円の中心から接点への線分は、原点から接点への線分と直交します。

$\beta = x+yi$ とします。

$\alpha$ の偏角は $\pi/4$ なので、円の中心から接点への線分と、実軸とのなす角を $\theta$ とすると、$\theta > \pi/4$ である必要があります。

円の中心から接点への線分は長さ2なので、$\beta = \alpha + 2e^{i(\pi/2 + \pi/4)} = \alpha + 2e^{i(3\pi/4)} = 2\sqrt{2}(1+i) + 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 2\sqrt{2}(1+i) + (-\sqrt{2}+\sqrt{2}i) = (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2\sqrt{2} + \sqrt{2})i = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i}{2\sqrt{2}(1+i)} = \frac{1+3i}{2(1+i)} = \frac{(1+3i)(1-i)}{2(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i + 3i - 3i^2}{2(1 - i^2)} = \frac{1+2i+3}{2(2)} = \frac{4+2i}{4} = 1 + \frac{1}{2}i = 1 + \frac{1}{2}i$

$\left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\text{arg}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) = \arctan\left(\frac{1/2}{1}\right) = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$

(ii) $\beta = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

$|\beta| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+18} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$\text{arg}(\beta) = \arctan\left(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \arctan(3)$

(iii) $\beta^n$ が実数になるためには、$\text{arg}(\beta^n) = n \cdot \text{arg}(\beta)$ が $k\pi$ ($k$ は整数) となる必要があります。

つまり、$n \cdot \arctan(3) = k\pi$ となる整数 $n$ の個数を求めます。

これは、$n = \frac{k\pi}{\arctan(3)}$ を満たす整数 $n$ の個数を $1 \le n \le 100$ の範囲で求めます。

$\arctan(3) \approx 1.249$

$n = \frac{k\pi}{\arctan(3)} \approx \frac{k\pi}{1.249} \approx 2.515k$

$1 \le 2.515k \le 100$

$\frac{1}{2.515} \le k \le \frac{100}{2.515}$

$0.397 \le k \le 39.76$

よって、整数 $k$ の範囲は $1 \le k \le 39$ となります。

したがって、$\beta^n$ が実数になる整数 $n$ は39個です。

3. 最終的な答え

(1) $z = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(2)

(i) $\frac{\beta}{\alpha}$ の絶対値: $\frac{\sqrt{5}}{2}$, 偏角: $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$

(ii) $\beta = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$, 偏角: $\arctan(3)$

(iii) 39 個