複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $z$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $-\pi \le \theta < \pi$ とします。 (2) $z^{18} + \frac{1}{z^{12}}$ のとり得る値を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) $z$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $-\pi \le \theta < \pi$ とします。

(2) $z^{18} + \frac{1}{z^{12}}$ のとり得る値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ を変形します。両辺に $z$ を掛けると、

$z^2 + 1 = \sqrt{2}z$

$z^2 - \sqrt{2}z + 1 = 0$

この2次方程式を解の公式で解くと、

$z = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \pm i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ または $z = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ の場合、

$|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$

$\arg(z) = \frac{\pi}{4}$

よって、$z = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = e^{i\frac{\pi}{4}}$

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ の場合、

$|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$

$\arg(z) = -\frac{\pi}{4}$

よって、$z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = e^{-i\frac{\pi}{4}}$

(2)

$z = e^{i\frac{\pi}{4}}$ の場合、

$z^{18} = e^{i\frac{18\pi}{4}} = e^{i\frac{9\pi}{2}} = e^{i\frac{\pi}{2}} = i$

$\frac{1}{z^{12}} = z^{-12} = e^{-i\frac{12\pi}{4}} = e^{-i3\pi} = e^{-i\pi} = -1$

$z^{18} + \frac{1}{z^{12}} = i - 1 = -1 + i$

$z = e^{-i\frac{\pi}{4}}$ の場合、

$z^{18} = e^{-i\frac{18\pi}{4}} = e^{-i\frac{9\pi}{2}} = e^{-i\frac{\pi}{2}} = -i$

$\frac{1}{z^{12}} = z^{-12} = e^{i\frac{12\pi}{4}} = e^{i3\pi} = e^{i\pi} = -1$

$z^{18} + \frac{1}{z^{12}} = -i - 1 = -1 - i$

3. 最終的な答え

(1) $z = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$ または $z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})$

(2) $-1 + i, -1 - i$