与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-3y-1)x + (2y^2 + 5y - 12)$

次に、定数項 $2y^2 + 5y - 12$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 12 = (2y - 3)(y + 4)$

したがって、$x^2 + (-3y-1)x + (2y - 3)(y + 4)$ を因数分解することを考えます。

$(x + ay + b)(x + cy + d)$ となることを期待します。

$x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較すると、

$a+c = -3$

$ac = 2$

$b+d = -1$

$ad+bc = 5$

$bd = -12$

$ac=2$ となる $a, c$ の組み合わせは $(a, c) = (-1, -2), (-2, -1)$です。

$a+c = -3$ を満たすのは $(a, c) = (-1, -2), (-2, -1)$ のどちらでも成り立ちます。

ここで、

$(a,c) = (-1,-2)$ のとき $ad+bc = -d -2b = 5$, $bd = -12$

$(a,c) = (-2,-1)$ のとき $ad+bc = -2d -b = 5$, $bd = -12$

$b+d = -1$ より $d = -1-b$ を代入して,

$(a,c) = (-1,-2)$ のとき $-(-1-b) -2b = 5$ より $1+b-2b = 5$ より $-b = 4$ より $b = -4$, $d = 3$

$(a,c) = (-2,-1)$ のとき $-2(-1-b) -b = 5$ より $2+2b -b = 5$ より $b = 3$, $d = -4$

したがって, $(a,b,c,d) = (-1, -4, -2, 3)$ または $(-2, 3, -1, -4)$

因数分解の形は $(x - y - 4)(x - 2y + 3)$ または $(x - 2y + 3)(x - y - 4)$

3. 最終的な答え

$(x - y - 4)(x - 2y + 3)$