$x$の2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x = 3$ を解にもつような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$の2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x = 3$ を解にもつような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x = 3$ を方程式に代入すると、$3^2 - 3a + 2a^2 - 8 = 0$ となります。これを整理すると、

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(2a - 1)(a - 1) = 0$

よって、$a = \frac{1}{2}, 1$。ただし、$\frac{1}{2} < 1$ なので、$a = \frac{1}{2}, 1$

(2) $a = \frac{1}{2}$のとき、もとの方程式は、$x^2 - \frac{1}{2}x + 2(\frac{1}{4}) - 8 = 0$ となり、

$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 - x - 15 = 0$

$(2x + 5)(x - 3) = 0$

$x = 3, -\frac{5}{2}$

よって、他の解は $x = -\frac{5}{2}$

$a = 1$のとき、もとの方程式は、$x^2 - x + 2(1) - 8 = 0$ となり、

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

よって、他の解は $x = -2$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}, 1$

(2) $a = \frac{1}{2}$のとき、他の解は $x = -\frac{5}{2}$

$a = 1$のとき、他の解は $x = -2$