1, 1, 2, 2, 3, 3 の6つの数字を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1, 1, 2, 2, 3, 3 の6つの数字を1列に並べる。

(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全ての並べ方の総数

6つの数字を並べるので、全体では6!通りの並べ方があります。ただし、同じ数字がそれぞれ2つずつあるため、重複を解消する必要があります。

同じものを含む順列の公式より、

$\frac{6!}{2!2!2!}$

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$\frac{720}{2 \times 2 \times 2} = \frac{720}{8} = 90$

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方

まず、1, 2, 3を1列に並べることを考えます。

これは3! = 6通りあります。

例として、1 2 3 という並び方を考えます。

このとき、 _ 1 _ 2 _ 3 _ というように、数字と数字の間、および両端の計4つのスペースに、残りの1, 2, 3を配置します。

それぞれの数字の間と両端の4箇所から数字を置く場所を決定していきます。

1を入れる場所は4箇所から2箇所を選びます。${}_4 C_2$

2を入れる場所は残りの6箇所から2箇所を選びます。${}_2 C_2$

3を入れる場所は残りの2箇所から2箇所を選びます。${}_0 C_2$これはありえない。

包除原理を使う。

全体の場合の数から、少なくとも一組が隣り合う場合の数を引く。

少なくとも二組が隣り合う場合の数を足す。

三組とも隣り合う場合の数を引く。

少なくとも一組が隣り合う場合: ${}_3C_1 \times \frac{5!}{2!2!} = 3 \times 30 = 90$

少なくとも二組が隣り合う場合: ${}_3C_2 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 12 = 36$

三組とも隣り合う場合: ${}_3C_3 \times 3! = 1 \times 6 = 6$

$90 - (90 - 36 + 6) = 90 - 60 = 30$

別解：

1 2 3 1 2 3 のような並べ方を考える

1 2 1 3 2 3のような並べ方を考える。

1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3と考える。

1, 2, 3, 1, 2, 3と並べる方法は、3! x 3! = 36通り

しかし、11, 22, 33があるので、これは違う。

包除原理を使って解く

A: 1が隣り合う

B: 2が隣り合う

C: 3が隣り合う

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$

$|A| = |B| = |C| = \frac{5!}{2!2!} = 30$

$|A \cap B| = |B \cap C| = |C \cap A| = \frac{4!}{2!} = 12$

$|A \cap B \cap C| = 3! = 6$

$|A \cup B \cup C| = 3 \times 30 - 3 \times 12 + 6 = 90 - 36 + 6 = 60$

全体の並べ方は90通り

$90 - 60 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 30通り