与えられた数式 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2(a-b)^2$ を簡略化します。

$(a+b)^2(a-b)^2 = [(a+b)(a-b)]^2 = (a^2 - b^2)^2$

次に、$(a^2 - b^2)^2$ を展開します。

$(a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

与えられた数式は以下のようになります。

$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$

ここで、$A = a^4 + b^4$、$B = a^2b^2$ と置くと、

$(A - 2B)(A + B) = A^2 - AB - 2B^2$

元の変数に戻すと、

$(a^4 + b^4)^2 - (a^4 + b^4)(a^2b^2) - 2(a^2b^2)^2$

$= (a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - (a^6b^2 + a^2b^6) - 2a^4b^4$

$= a^8 - a^6b^2 - a^2b^6 + b^8$

この式は、$a^8 + b^8 - a^2b^2(a^4+b^4)$と変形できます。

$(a+b)^2(a-b)^2 = (a^2-b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

与えられた式は

$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$

$= (a^4 + b^4 - 2a^2b^2)(a^4 + b^4 + a^2b^2)$

$x = a^4 + b^4$ とおくと、

$(x - 2a^2b^2)(x+a^2b^2) = x^2 - a^2b^2 x - 2 a^4 b^4$

$= (a^4 + b^4)^2 + a^2b^2 (a^4 + b^4) - 2 a^4b^4$

$= a^8 + 2a^4b^4 + b^8 + a^6b^2 + a^2b^6 - 2 a^4b^4$

$= a^8 + a^6b^2 + a^2b^6 + b^8$

与えられた式は

$(a^8 + a^6b^2 + a^2b^6 + b^8)^2$ではないため、計算を修正する必要がある。

まず、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$であることから、

$(a+b)^2(a-b)^2 = (a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

次に、$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ と $a^4 + a^2b^2 + b^4$ の積を求めると、

$(a^4 + b^4 - 2a^2b^2)(a^4 + b^4 + a^2b^2)$

ここで、$A = a^4 + b^4$と置くと、

$(A - 2a^2b^2)(A + a^2b^2) = A^2 - a^2b^2 A - 2 a^4b^4$

$= (a^4 + b^4)^2 + a^2b^2(a^4 + b^4) - 2 a^4b^4$

$= a^8 + 2a^4b^4 + b^8 + a^6b^2 + a^2b^6 - 2 a^4b^4$

$= a^8 + a^6b^2 + a^2b^6 + b^8$

すると、与えられた式は、$(a^8 + a^6b^2 + a^2b^6 + b^8)^2$ となる。

ここで、$a^6b^2 + a^2b^6 = a^2b^2(a^4 + b^4)$であるから、

$(a^8 + b^8 + a^2b^2(a^4 + b^4))^2$となる。

3. 最終的な答え

$(a^8 + a^6b^2 + a^2b^6 + b^8)^2$