複素数の計算問題です。 (1) $(2+i)+(5-3i)$ (2) $3i \times 2i$ (3) $(5+i)(3-4i)$ (4) $(3+2i) \div (1-2i)$ の4つの計算を行います。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(1) $(2+i)+(5-3i)$

(2) $3i \times 2i$

(3) $(5+i)(3-4i)$

(4) $(3+2i) \div (1-2i)$

の4つの計算を行います。

2. 解き方の手順

(1) 複素数の足し算は、実部と虚部をそれぞれ足します。

$2+i+5-3i = (2+5) + (1-3)i = 7 - 2i$

(2) 複素数の掛け算を行います。$i^2 = -1$を利用します。

$3i \times 2i = 6i^2 = 6 \times (-1) = -6$

(3) 複素数の掛け算を行います。分配法則を使って展開します。$i^2 = -1$を利用します。

$(5+i)(3-4i) = 5 \times 3 + 5 \times (-4i) + i \times 3 + i \times (-4i) = 15 - 20i + 3i - 4i^2 = 15 - 17i - 4(-1) = 15 - 17i + 4 = 19 - 17i$

(4) 複素数の割り算を行います。分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。分母の共役複素数は $1+2i$ です。

$\frac{3+2i}{1-2i} = \frac{(3+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3 \times 1 + 3 \times 2i + 2i \times 1 + 2i \times 2i}{1 \times 1 + 1 \times 2i - 2i \times 1 - 2i \times 2i} = \frac{3 + 6i + 2i + 4i^2}{1 + 2i - 2i - 4i^2} = \frac{3 + 8i + 4(-1)}{1 - 4(-1)} = \frac{3 + 8i - 4}{1 + 4} = \frac{-1 + 8i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$

3. 最終的な答え

(1) $7 - 2i$

(2) $-6$

(3) $19 - 17i$

(4) $-\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$