$a$は自然数とする。2次方程式 $x^2 - 2(a-4)x + 2a = 0$ の異なる2つの実数解がともに2より大きくなるとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は自然数とする。2次方程式 $x^2 - 2(a-4)x + 2a = 0$ の異なる2つの実数解がともに2より大きくなるとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2(a-4)x + 2a = 0$ とする。この方程式が異なる2つの実数解を持ち、かつ、それらがともに2より大きいという条件を満たすためには、以下の3つの条件が満たされる必要がある。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸の位置 > 2

(3) $f(2) > 0$

(1) 判別式 $D > 0$ について:

$D = (-2(a-4))^2 - 4(1)(2a) = 4(a^2 - 8a + 16) - 8a = 4a^2 - 32a + 64 - 8a = 4a^2 - 40a + 64 > 0$

$a^2 - 10a + 16 > 0$

$(a-2)(a-8) > 0$

したがって、$a < 2$ または $a > 8$

(2) 軸の位置 > 2 について:

$f(x) = x^2 - 2(a-4)x + 2a$ の軸は $x = a-4$ である。

したがって、$a-4 > 2$

$a > 6$

(3) $f(2) > 0$ について:

$f(2) = 2^2 - 2(a-4)(2) + 2a = 4 - 4(a-4) + 2a = 4 - 4a + 16 + 2a = 20 - 2a > 0$

$2a < 20$

$a < 10$

以上より、$a$は自然数であるから、

(1) $a < 2$ または $a > 8$

(2) $a > 6$

(3) $a < 10$

これらの条件をすべて満たす $a$ は、$8 < a < 10$ より、$a = 9$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 9$