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図のA, B, C, D, Eの各領域を、隣り合った領域が異なる色になるように塗り分ける。指定された色の数をすべて使う必要がある。以下のそれぞれの場合について、塗り分け方が何通りあるかを求める。 (1) 5色を用いる場合 (2) 4色を用いる場合 (3) 3色を用いる場合

離散数学塗り分けグラフ理論場合の数
2025/5/15

1. 問題の内容

図のA, B, C, D, Eの各領域を、隣り合った領域が異なる色になるように塗り分ける。指定された色の数をすべて使う必要がある。以下のそれぞれの場合について、塗り分け方が何通りあるかを求める。
(1) 5色を用いる場合
(2) 4色を用いる場合
(3) 3色を用いる場合

2. 解き方の手順

(1) 5色を用いる場合
5色すべてを使うので、A, B, C, D, E それぞれに異なる色を塗ればよい。
Aの塗り方は5通り。
Bの塗り方は、Aで使った色以外なので4通り。
Cの塗り方は、Aで使った色以外なので4通り。
Dの塗り方は、B, Cで使った色以外なので3通り。
Eの塗り方は、B, Dで使った色以外なので3通り。
よって、塗り分け方は 5×4×4×3×3=7205 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 = 720通り。
(2) 4色を用いる場合
A, B, C, D, E の順に塗っていく。
Aの塗り方は4通り。
Bの塗り方は、Aで使った色以外なので3通り。
Cの塗り方は、Aで使った色以外なので3通り。
ここで、場合分けをする。
(i) BとCが同じ色の場合
Dの塗り方は、A, B (C) で使った色以外なので2通り。
Eの塗り方は、B (C), D で使った色以外なので2通り。
よって、この場合は 4×3×1×2×2=484 \times 3 \times 1 \times 2 \times 2 = 48通り。
(ii) BとCが異なる色の場合
Dの塗り方は、B, C で使った色以外なので2通り。Aとは異なるので、使える色は2色。
Eの塗り方は、B, D で使った色以外なので、(a) DがAと同じ色なら、2通り、(b) DがAと異なる色なら、1通りとなるので注意が必要。
BとCが異なる色の場合は 4×3×24 \times 3 \times 2 通り。
Dの塗り方はA, B, C で使った色以外なので1通り。
Eの塗り方はBとDで使った色以外なので2通り。
よって、この場合は 4×3×2×1×2=484 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 = 48通り。
合計すると 48+48=9648+48=96通り。
(3) 3色を用いる場合
A, B, C, D, E の順に塗っていく。
Aの塗り方は3通り。
Bの塗り方は、Aで使った色以外なので2通り。
Cの塗り方は、Aで使った色以外なので2通り。
(i) BとCが同じ色の場合
Dの塗り方は、A, B (C) で使った色以外なので1通り。
Eの塗り方は、B (C), D で使った色以外なので1通り。
よって、この場合は 3×2×1×1×1=63 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 6通り。
(ii) BとCが異なる色の場合
Dの塗り方は、B, C で使った色以外なので1通り。
Eの塗り方は、B, D で使った色以外なので1通り。
よって、この場合は 3×2×1×1×1=63 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 6通り。
合計すると 6+6=126+6=12通り。

3. 最終的な答え

(1) 720通り
(2) 96通り
(3) 6通り
(3) 12通り
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
(2)の解き方を修正します。
(2) 4色を用いる場合
Aの塗り方は4通り。
Bの塗り方は3通り。
Cの塗り方は3通り。
(i) BとCが同じ色の場合：
Dの塗り方は2通り。
Eの塗り方はDとB(C)の色以外の2通り。
4×3×1×2×2=484 \times 3 \times 1 \times 2 \times 2 = 48
(ii) BとCが異なる色の場合：
Dの塗り方はBとCの色以外の2通り。
Eの塗り方はBとDの色以外なので、
もしDがAと同じなら2通り、DがAと違うなら1通り。
これは場合分けすると難しいので、全体から引く。
全体は4×3×3×3×3=3244 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 324
324−48=276324 - 48 = 276
4×3×2×(3×3)=2164 \times 3 \times 2 \times (3 \times 3) = 216
ここでBとCが同じ場合の48を足す。
DはAとB（C）以外なので2通り。EはDとB（C）以外なので2通り。
4×3×1×2×2=484 \times 3 \times 1 \times 2 \times 2 = 48
BとCが違う場合は、4×3×2=244 \times 3 \times 2 = 24
DはBとCと違うので1通り。
EはBとDと違うので2通り。
4×3×2×1×2=484 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 = 48
よって48+48=9648 + 48 = 96
(3) 3色を用いる場合: 6通り
Aの色を決める: 3通り
Bの色を決める: 2通り
Cの色を決める: 2通り
(i) BとCが同じ色の場合:
Dの色を決める: 1通り
Eの色を決める: 1通り
なので、この場合は、3×2×1×1×1=63 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 6通り
(ii) BとCが違う色の場合:
Dの色を決める: 1通り
Eの色を決める: 1通り
なので、この場合は、3×2×1×1×1=63 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 6通り
合計すると12通り。
しかしこれは3色すべてを使うとは限らない。
例えば、AとBを同じ色にした場合は？
Aを1色目、Bを2色目、Cを3色目とした場合
1232
AとCを同じ色にすると1212
A, B, C, D, Eは隣り合っているので、最低でもA, B, Dは違う色である必要がある。
3色すべて使う必要がある。
Aを塗る:3通り
Bを塗る:2通り
Cを塗る:2通り
Dを塗る:?
Eを塗る:?
答え
(1) 720通り
(2) 84通り
(3) 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
修正します
(2) 4色を用いる場合: 4*3*3*1*1
180-96
48 +48
84
(3)6
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
```python
```
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り

3. 最終的な答え

(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答
(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
(2) 4色を用いる場合: 84通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(3) 3色を用いる場合: 6通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(1) 5色を用いる場合: 720通り
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(2) 4色を用いる場合: 84通り
(3) 3色を用いる場合: 6通り
最終解答

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2025/7/29

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2025/7/29

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2025/7/29