三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $\angle ABC = 120^\circ$とする。 このとき、$AC$, $\sin \angle ABC$, $\sin \angle BCA$を求め、直線BC上に点Dを、$AD=3\sqrt{3}$かつ$\angle ADC$が鋭角となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、三角形APCの外接円の半径をRとすると、Rのとりうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $\angle ABC = 120^\circ$とする。

このとき、$AC$, $\sin \angle ABC$, $\sin \angle BCA$を求め、直線BC上に点Dを、$AD=3\sqrt{3}$かつ$\angle ADC$が鋭角となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、三角形APCの外接円の半径をRとすると、Rのとりうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $AC$を求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos \angle ABC = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\cos 120^\circ = 9 + 25 - 30(-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

よって、$AC = \sqrt{49} = 7$。

(2) $\sin \angle ABC$を求める。

$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\sin \angle BCA$を求める。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle BCA} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$なので、

$\sin \angle BCA = \frac{AB \sin \angle ABC}{AC} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

(4) 点Dの位置を定める。$AD=3\sqrt{3}$である。

$\angle ADC$が鋭角であるから、$CD > 0$。

$\triangle ADC$において、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos \angle ADC$

$\cos \angle ADC = \frac{AD^2 + CD^2 - AC^2}{2(AD)(CD)}$

$\angle ADC$が鋭角なので、$\cos \angle ADC > 0$。

$AD^2 + CD^2 - AC^2 > 0$

$(3\sqrt{3})^2 + CD^2 - 7^2 > 0$

$27 + CD^2 - 49 > 0$

$CD^2 > 22$

$CD > \sqrt{22}$

$BD = BC + CD = 5 + CD > 5 + \sqrt{22}$

$\angle ADB = 180^\circ - \angle ADC$であるから、$\angle ADB$は鈍角。

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2(AD)(BD)\cos \angle ADB$

$\cos \angle ADB = \frac{AD^2 + BD^2 - AB^2}{2(AD)(BD)} < 0$

$AD^2 + BD^2 - AB^2 < 0$

$27 + BD^2 - 9 < 0$

$BD^2 < -18$となり、これはありえない。

DがCの左側にある場合を考える。

$CD < 0$とすると、$BC = BD + DC$より、$DC = BC - BD = 5 - BD$。

この時、$DC > 0$より、$BD < 5$である。

$(3\sqrt{3})^2 + (5-BD)^2 - 7^2 > 0$

$27 + 25 - 10BD + BD^2 - 49 > 0$

$BD^2 - 10BD + 3 > 0$

$BD = 5 \pm \sqrt{22}$

$BD < 5 - \sqrt{22}$

$P = D$のとき、$R = \frac{AC}{2 \sin \angle APC} = \frac{7}{2\sin \angle ADC}$

$\angle ADC$は鋭角であるから、$R > \frac{7}{2}$

$CD = 0$のとき、$D = C$, $AD = 3\sqrt{3}$。

$AC = 7$

$R = \frac{AD}{2 \sin \angle ACD} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \sin \angle ACD}$

3. 最終的な答え

$AC = 7$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \angle BCA = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

$\frac{7}{4} \le R \le \frac{7}{2}$

$\frac{7}{4} \le R < \frac{7}{2}$