2直線 $2x + y - 3 = 0$ と $x - 4y + 3 = 0$ の交点を通り、直線 $x + 3y - 2 = 0$ に平行な直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2直線 $2x + y - 3 = 0$ と $x - 4y + 3 = 0$ の交点を通り、直線 $x + 3y - 2 = 0$ に平行な直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を求める。

$2x + y - 3 = 0$ (1)

$x - 4y + 3 = 0$ (2)

(1)より $y = 3 - 2x$ (3)

(3)を(2)に代入すると $x - 4(3 - 2x) + 3 = 0$

$x - 12 + 8x + 3 = 0$

$9x - 9 = 0$

$9x = 9$

$x = 1$

$x = 1$ を (3) に代入すると $y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

したがって、2直線の交点は $(1, 1)$ である。

次に、直線 $x + 3y - 2 = 0$ に平行な直線の傾きを求める。

$x + 3y - 2 = 0$ より $3y = -x + 2$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

この直線の傾きは $-\frac{1}{3}$ である。

求める直線は点 $(1, 1)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{3}$ であるから、直線の方程式は

$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1)$

$y - 1 = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 1$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

両辺に3を掛けると

$3y = -x + 4$

$x + 3y - 4 = 0$

3. 最終的な答え

$x + 3y - 4 = 0$