与えられた問題は、次の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(3k+1)$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(3k+1)$

2. 解き方の手順

まず、総和の中の式を展開します。

$(k-1)(3k+1) = 3k^2 + k - 3k - 1 = 3k^2 - 2k - 1$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 2k - 1)$

この総和を3つの部分に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 2k - 1) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

既知の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} - n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - n(n+1) - n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - 2n}{2}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) - 2(n+1) - 2]}{2}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 2n - 2 - 2]}{2}$

$= \frac{n[2n^2 + n - 3]}{2}$

$= \frac{n(n-1)(2n+3)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(2n+3)}{2}$