二次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $a \le x \le a+2$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $a \le x \le a+2$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$

これにより、この二次関数の頂点の座標が $(2, -3)$ であることがわかります。軸は $x=2$ です。

次に、$a \le x \le a+2$ の範囲において、最大値と最小値を考える必要があります。これは、$a$ の値によって、軸 $x=2$ が範囲内に含まれるかどうか、または範囲のどこにあるかによって場合分けして考える必要があります。

(1) $a+2 < 2$ つまり $a < 0$ のとき

この範囲では $x=2$ は範囲外なので、関数は単調に減少します。

したがって、最大値 $M = a^2 - 4a + 1$、最小値 $m = (a+2)^2 - 4(a+2) + 1 = a^2 + 4a + 4 - 4a - 8 + 1 = a^2 - 3$

(2) $a \le 2 \le a+2$ つまり $0 \le a \le 2$ のとき

この範囲では $x=2$ が範囲内なので、最小値は頂点の $y$ 座標で $m = -3$ です。

最大値は $x=a$ または $x=a+2$ のいずれか大きい方になります。軸からの距離を比較します。

$|a - 2|$ と $|(a+2) - 2| = |a|$ を比較します。

$a \ge 1$ のとき $M = a^2 - 4a + 1$

$a < 1$ のとき $M = (a+2)^2 - 4(a+2) + 1 = a^2 - 3$

$a=1$のとき、Mは等しくなり、 $a^2-4a+1=1-4+1=-2$

したがって、

$0 \le a < 1$ のとき、$M = a^2 - 3$

$1 \le a \le 2$ のとき、$M = a^2 - 4a + 1$

(3) $a > 2$ のとき

この範囲では $x=2$ は範囲外なので、関数は単調に増加します。

したがって、最小値 $m = a^2 - 4a + 1$、最大値 $M = (a+2)^2 - 4(a+2) + 1 = a^2 - 3$

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ のとき

$M = a^2 - 4a + 1$

$m = a^2 - 3$

(2) $0 \le a < 1$ のとき

$M = a^2 - 3$

$m = -3$

(3) $1 \le a \le 2$ のとき

$M = a^2 - 4a + 1$

$m = -3$

(4) $a > 2$ のとき

$M = a^2 - 3$

$m = a^2 - 4a + 1$