与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$1 \cdot 3 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 13 + \cdots + n(5n - 2)$ で表されます。つまり、第 $k$ 項は $k(5k - 2)$ となります。この数列の第1項から第n項までの和を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$1 \cdot 3 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 13 + \cdots + n(5n - 2)$ で表されます。つまり、第 $k$ 項は $k(5k - 2)$ となります。この数列の第1項から第n項までの和を計算します。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ は、次のように表されます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k(5k - 2)$

この式を展開すると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (5k^2 - 2k)$

和の性質を利用して、次のように分解できます。

$S_n = 5 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ はそれぞれ、平方の和と自然数の和の公式で計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を $S_n$ の式に代入すると、

$S_n = 5 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{5n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{6n(n+1)}{6}$

$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [5(2n+1) - 6]$

$S_n = \frac{n(n+1)}{6} (10n + 5 - 6)$

$S_n = \frac{n(n+1)(10n - 1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(10n-1)}{6}$