与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

(1) 項のペアを適切にグループ化して展開します。$(x-1)$ と $(x-7)$、$(x-3)$ と $(x-5)$をグループ化します。

$$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$$

$$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$$

(2) $y = x^2 - 8x$ と置き換えます。

$$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15 = (y+7)(y+15) + 15$$

(3) $(y+7)(y+15) + 15$ を展開します。

$$(y+7)(y+15) + 15 = y^2 + 22y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120$$

(4) 式 $y^2 + 22y + 120$ を因数分解します。

$$y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)$$

(5) $y = x^2 - 8x$ を代入して、$x$ に関する式に戻します。

$$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$$

(6) $x^2 - 8x + 12$ はさらに因数分解できます。

$$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$$

したがって、

$$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$$

3. 最終的な答え

$(x^2-8x+10)(x-2)(x-6)$