関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ であることから、$x^2$ の最大値は $(-4)^2 = 16$ であり、最小値は $x=0$ のときの $0$ である。

$y=ax^2$ の変域が $b \le y \le 24$ であるから、$y$ の最大値が 24 であることがわかっている。

もし $a>0$ ならば、$x^2$ が最大となるときに $y$ も最大となるので、$x=-4$ のとき $y=24$ となる。したがって、

$24 = a(-4)^2 = 16a$

$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

このとき、$y=ax^2$ は下に凸の放物線であり、$x=0$ のとき最小値を取るので、$y$ の最小値は $0$ となる。つまり、$b=0$。

もし $a<0$ ならば、$x^2$ が最大となるときに $y$ は最小となり、$x=0$ のとき $y=0$ となるので、$y$ の最大値は $0$ となる。しかし、$y$ の変域は $b \le y \le 24$ なので、$a<0$ であることはない。

したがって、$a = \frac{3}{2}$、$b=0$ である。

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}$

$b = 0$