関数 $y = (e^{x^2+1})^3$ の導関数を求めます。

承知いたしました。画像の問題を解いていきます。今回は、問1を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = (e^{x^2+1})^3$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は合成関数の微分を利用します。

まず、$y = (e^{x^2+1})^3$ を $y = (f(g(x)))^3$ と考え、$f(x) = e^x$, $g(x) = x^2 + 1$ とおきます。

合成関数の微分公式は、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

まず、$y = (e^{x^2+1})^3$ を整理すると、$y = e^{3(x^2+1)} = e^{3x^2+3}$ となります。

次に、$u = 3x^2 + 3$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 6x$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 6x = e^{3x^2+3} \cdot 6x = 6x e^{3x^2+3}$ となります。

3. 最終的な答え

$y' = 6xe^{3x^2+3}$