関数 $y = e^{\cos x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\cos x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = e^{\cos x}$ を $x$ で微分します。これは合成関数の微分ですので、連鎖律（チェーンルール）を用います。

連鎖律とは、$y = f(g(x))$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$

となる法則です。

この問題では、$f(u) = e^u$ であり、$g(x) = \cos x$ と考えます。

まず、$y = e^u$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = e^u$

次に、$u = \cos x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (-\sin x) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot e^{\cos x}$