数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{7a_n + 16}{2a_n + 7}$ で定義されている。 (1) すべての自然数 $n$ に対して $1 \le a_n \le 8$ であることを示す。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が単調増加数列であることを示す。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の極限値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{7a_n + 16}{2a_n + 7}$ で定義されている。

(1) すべての自然数 $n$ に対して $1 \le a_n \le 8$ であることを示す。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が単調増加数列であることを示す。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の極限値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 1$ より $1 \le a_1 \le 8$ は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$1 \le a_k \le 8$ が成り立つと仮定する。このとき、$1 \le a_{k+1} \le 8$ が成り立つことを示す。

$a_{k+1} - 1 = \frac{7a_k + 16}{2a_k + 7} - 1 = \frac{5a_k + 9}{2a_k + 7}$

$a_{k+1} - 8 = \frac{7a_k + 16}{2a_k + 7} - 8 = \frac{-9a_k - 40}{2a_k + 7}$

$1 \le a_k \le 8$ より、$5a_k + 9 > 0$ および $2a_k + 7 > 0$ であるから、$a_{k+1} - 1 > 0$ つまり $a_{k+1} > 1$ である。

また、$1 \le a_k \le 8$ より、$-9a_k - 40 < 0$ なので、$a_{k+1} - 8 < 0$ つまり $a_{k+1} < 8$ である。

したがって、$1 \le a_{k+1} \le 8$ が成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $1 \le a_n \le 8$ が成り立つ。

(2) $a_{n+1} - a_n = \frac{7a_n + 16}{2a_n + 7} - a_n = \frac{7a_n + 16 - 2a_n^2 - 7a_n}{2a_n + 7} = \frac{16 - 2a_n^2}{2a_n + 7} = \frac{2(8 - a_n^2)}{2a_n + 7}$

(1)より、$1 \le a_n \le 8$ であるから、$1 \le a_n \le \sqrt{8}$ のとき $8 - a_n^2 \ge 0$ である。

$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7 \cdot 1 + 16}{2 \cdot 1 + 7} = \frac{23}{9} \approx 2.55$

$a_3 = \frac{7 \cdot \frac{23}{9} + 16}{2 \cdot \frac{23}{9} + 7} = \frac{7 \cdot 23 + 16 \cdot 9}{2 \cdot 23 + 7 \cdot 9} = \frac{161 + 144}{46 + 63} = \frac{305}{109} \approx 2.80$

$a_n$ は単調増加数列と予想できる。

$1 \le a_n \le \sqrt{8} \approx 2.83$のとき $a_{n+1} - a_n \ge 0$が成り立つ。

すべての $n$ に対して $a_n \le \sqrt{8}$ と仮定して、数学的帰納法で示す。

$a_1 = 1 \le \sqrt{8}$

$a_k \le \sqrt{8}$ と仮定する。

$a_{k+1} = \frac{7a_k + 16}{2a_k + 7}$

$a_{k+1} \le \sqrt{8} \Leftrightarrow \frac{7a_k + 16}{2a_k + 7} \le \sqrt{8}$

$7a_k + 16 \le \sqrt{8}(2a_k + 7)$

$7a_k + 16 \le 2\sqrt{8} a_k + 7\sqrt{8}$

$(7 - 2\sqrt{8})a_k \le 7\sqrt{8} - 16$

$a_k \le \frac{7\sqrt{8} - 16}{7 - 2\sqrt{8}} \approx \frac{3.8}{1.34} \approx 2.83 < \sqrt{8}$

したがって、$a_n$ は単調増加数列である。

(3) $a_n$ は単調増加で上に有界な数列なので、極限値を持つ。極限値を $\alpha$ とすると、

$\alpha = \frac{7\alpha + 16}{2\alpha + 7}$

$2\alpha^2 + 7\alpha = 7\alpha + 16$

$2\alpha^2 = 16$

$\alpha^2 = 8$

$\alpha = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

$a_n > 0$ なので $\alpha = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) すべての自然数 $n$ について $1 \le a_n \le 8$

(2) 数列 $\{a_n\}$ は単調増加数列である。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の極限値は $2\sqrt{2}$