1辺の長さが2のひし形ABCDにおいて、$\angle A = 60^\circ$であるとき、$\vec{AB} \cdot \vec{AD}$を求めよ。

1. 問題の内容

1辺の長さが2のひし形ABCDにおいて、$\angle A = 60^\circ$であるとき、$\vec{AB} \cdot \vec{AD}$を求めよ。

2. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を用います。ここで$\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角です。

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| |\vec{AD}| \cos \angle BAD$

問題文より、$|\vec{AB}| = 2$, $|\vec{AD}| = 2$, $\angle BAD = 60^\circ$ なので、

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

3. 最終的な答え

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2$