関数 $y = \ln(\sin(3x))$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \ln(\sin(3x))$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数の形をしているので、合成関数の微分法（連鎖律）を使います。

まず、$u = \sin(3x)$ と置くと、$y = \ln u$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

次に、$v = 3x$ と置くと、$u = \sin v$ となります。

したがって、

$\frac{du}{dv} = \cos v$

最後に、$\frac{dv}{dx} = 3$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \cos v \cdot 3$

$u$ と $v$ をそれぞれ元の関数に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin(3x)} \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 3 \cdot \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} = 3 \cot(3x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3 \cot(3x)$