関数 $f(x) = \frac{\cos x - a}{\sin x}$ ($0 < x < \pi$) が $x = \frac{\pi}{4}$ で極値をとるとき、定数 $a$ の値を求め、またそのときの極値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\cos x - a}{\sin x}$ ($0 < x < \pi$) が $x = \frac{\pi}{4}$ で極値をとるとき、定数 $a$ の値を求め、またそのときの極値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が $x = \frac{\pi}{4}$ で極値をとるので、$f'(\frac{\pi}{4}) = 0$ となる。まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x - a)(\cos x)}{\sin^2 x}$

$f'(x) = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x + a \cos x}{\sin^2 x}$

$f'(x) = \frac{-1 + a \cos x}{\sin^2 x}$

$f'(\frac{\pi}{4}) = 0$ より、

$0 = \frac{-1 + a \cos(\frac{\pi}{4})}{\sin^2 (\frac{\pi}{4})}$

$-1 + a \cos(\frac{\pi}{4}) = 0$

$a \cos(\frac{\pi}{4}) = 1$

$a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

$a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

次に、$x = \frac{\pi}{4}$ での極値を求める。

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4}) - a}{\sin(\frac{\pi}{4})}$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}$

極値: $-1$