与えられた和 $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この和を計算するために、部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{k(k+1)}$ を次のように分解できます。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$

両辺に $k(k+1)$ を掛けると、

$1 = A(k+1) + Bk$

$k$ について整理すると、

$1 = (A+B)k + A$

この式が任意の $k$ に対して成り立つためには、次の連立方程式を満たす必要があります。

$A+B = 0$

$A = 1$

したがって、$A = 1$ であり、$B = -1$ となります。

よって、

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

となります。

この結果を用いて、与えられた和を書き換えると、

$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{100} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

$= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) + \left(\frac{1}{100} - \frac{1}{101}\right)$

これは望遠鏡和（telescoping sum）であり、多くの項が打ち消し合って、最初の項と最後の項だけが残ります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{101}$

$= \frac{101}{101} - \frac{1}{101}$

$= \frac{100}{101}$

3. 最終的な答え

$\frac{100}{101}$