定積分 $\int_{-1}^{2} (-3x^2 + x + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (-3x^2 + x + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-3x^2 + x + 1$ の不定積分を求めます。

$\int (-3x^2 + x + 1) dx = -3 \int x^2 dx + \int x dx + \int 1 dx$

$= -3 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C$

$= -x^3 + \frac{x^2}{2} + x + C$

次に、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$\left[ -x^3 + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{2} = \left( -(2)^3 + \frac{(2)^2}{2} + 2 \right) - \left( -(-1)^3 + \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right)$

$= (-8 + \frac{4}{2} + 2) - (1 + \frac{1}{2} - 1)$

$= (-8 + 2 + 2) - (\frac{1}{2})$

$= -4 - \frac{1}{2}$

$= -\frac{8}{2} - \frac{1}{2}$

$= -\frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{9}{2}$