関数 $f(\theta) = -(\cos\theta)^2 - \sin\theta + 2$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最小値と最大値を求め、それぞれのときの$\theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = -(\cos\theta)^2 - \sin\theta + 2$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最小値と最大値を求め、それぞれのときの$\theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(\cos\theta)^2$ を $1-(\sin\theta)^2$ で置き換えることで、$f(\theta)$を$\sin\theta$の関数として表します。

$f(\theta) = -(1-(\sin\theta)^2) - \sin\theta + 2 = (\sin\theta)^2 - \sin\theta + 1$

ここで、$t = \sin\theta$ とおくと、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $-1 \le t \le 1$です。

$g(t) = t^2 - t + 1$ とおくと、$g(t)$の$-1 \le t \le 1$における最大値、最小値を求める問題に帰着します。

$g(t)$を平方完成すると、$g(t) = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ となります。

$g(t)$は、$t = \frac{1}{2}$で最小値$\frac{3}{4}$をとります。また、$t = -1$で最大値$(-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$をとります。

よって、

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{1}{2}$より、$\theta = \frac{\pi}{6}$ で最小値 $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$をとります。

$t = -1$ のとき、$\sin\theta = -1$より、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ で最大値 $f(-\frac{\pi}{2}) = 3$をとります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}$ で最小値 $\frac{3}{4}$ をとり、

$\theta = -\frac{\pi}{2}$ で最大値 $3$ をとる。