問題は、以下の6つの数列の極限を求める問題です。 (1) $(\frac{1}{3})^n$ (2) $(\frac{4}{3})^n$ (3) $(-\frac{3}{4})^n$ (4) $(-3)^n$ (5) $(\sqrt{2}-1)^n$ (6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

1. 問題の内容

問題は、以下の6つの数列の極限を求める問題です。

(1) $(\frac{1}{3})^n$

(2) $(\frac{4}{3})^n$

(3) $(-\frac{3}{4})^n$

(4) $(-3)^n$

(5) $(\sqrt{2}-1)^n$

(6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ の極限は、$r$ の値によって以下のように場合分けされます。

* $|r| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

* $r = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 1$

* $r > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$

* $r \le -1$ のとき、$\{r^n\}$ は振動し、極限は存在しない。

各数列について、このルールを適用します。

(1) $r = \frac{1}{3}$ であり、 $|r| < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0$

(2) $r = \frac{4}{3}$ であり、$r > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3})^n = \infty$

(3) $r = -\frac{3}{4}$ であり、 $|r| < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{4})^n = 0$

(4) $r = -3$ であり、$r < -1$ なので、$\{(-3)^n\}$ は振動し、極限は存在しない。

(5) $r = \sqrt{2} - 1$ であり、$0 < \sqrt{2} - 1 < 1$ なので、 $|r| < 1$。したがって、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{2}-1)^n = 0$

(6) $r = \frac{1}{1-\sqrt{2}}$。

まず $r$ を計算します。

$r = \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = -1-\sqrt{2}$

$r = -1-\sqrt{2} < -1$ なので、$\{(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n\}$ は振動し、極限は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\infty$

(3) 0

(4) 極限は存在しない

(5) 0

(6) 極限は存在しない