数列 $\left\{(2x)^n\right\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\left\{(2x)^n\right\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列 $\left\{r^n\right\}$ が収束するための条件は、$-1 < r \le 1$ です。今回の問題では、$r = 2x$ なので、

$-1 < 2x \le 1$

という不等式を解く必要があります。

各辺を2で割ると、

$-\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2}$

したがって、$x$ の値の範囲は $-\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2}$ です。

次に、極限値を求めます。数列 $\left\{(2x)^n\right\}$ が収束するとき、極限値は $0$ または $1$ になります。

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、$-1 < 2x < 1$ となり、$\lim_{n\to\infty} (2x)^n = 0$ となります。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$2x = 1$ となり、$\lim_{n\to\infty} (2x)^n = \lim_{n\to\infty} 1^n = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x$ の値の範囲: $-\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2}$

極限値:

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき $0$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $1$