以下の等式を証明する問題です。 $\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)} = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$

1. 問題の内容

以下の等式を証明する問題です。

$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)} = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺に一致することを示します。

$\sin$と$\tan$の加法定理、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$の関係を利用します。

まず、左辺の$\sin$の加法定理を展開します。

$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

したがって、

$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}$

次に、右辺の$\tan$の定義を使って書き換えます。

$\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$

分母分子に$\cos\alpha\cos\beta$を掛けます。

$\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cos\alpha\cos\beta-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cos\alpha\cos\beta}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cos\alpha\cos\beta+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}$

これは左辺の変形後の形と一致します。

したがって、与えられた等式は証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)} = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$