関数 $f(x) = \frac{x}{e^x}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。 (2) $f''(x)$ を用いて、$f(x)$ の極値を調べる。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{e^x}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

(2) $f''(x)$ を用いて、$f(x)$ の極値を調べる。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を計算し、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$f(x) = \frac{x}{e^x} = xe^{-x}$ より、積の微分法を用いて

$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$

$f'(x) = 0$ となるのは $e^{-x}(1 - x) = 0$ のとき。$e^{-x} > 0$ であるから、$1 - x = 0$ より $x = 1$

(2) $f''(x)$ を計算し、(1)で求めた $x$ の値における $f''(x)$ の符号を調べる。

$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$ より、積の微分法を用いて

$f''(x) = (e^{-x})'(1 - x) + e^{-x}(1 - x)' = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = -e^{-x} + xe^{-x} - e^{-x} = e^{-x}(x - 2)$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -\frac{1}{e} < 0$

よって、$x = 1$ で極大値をとる。極大値は $f(1) = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e}$

$f(x)$ は $x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化し、$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$、$x > 1$ のとき $f'(x) < 0$ である。したがって、$f(x)$ は $x=1$ で極大値をとり、極小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。極小値は存在しない。