与えられた関数 $f(x) = \frac{x}{e^x}$ について、次の問いに答えます。 (1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。 (2) $f''(x)$ を用いて、$f(x)$ の極値を調べます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{x}{e^x}$ について、次の問いに答えます。

(1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

(2) $f''(x)$ を用いて、$f(x)$ の極値を調べます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。商の微分法を用いると、

$f'(x) = \frac{(x)'e^x - x(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

となります。

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めるには、$\frac{1-x}{e^x} = 0$ を解きます。$e^x > 0$ なので、 $1-x = 0$ から $x = 1$ が得られます。

(2) 次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{(1-x)'e^x - (1-x)(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{-e^x - (1-x)e^x}{e^{2x}} = \frac{-e^x - e^x + xe^x}{e^{2x}} = \frac{-2e^x + xe^x}{e^{2x}} = \frac{x-2}{e^x}$

となります。

$x = 1$ における $f''(x)$ の値を計算すると、$f''(1) = \frac{1-2}{e^1} = -\frac{1}{e} < 0$ となります。

したがって、$x=1$ で $f(x)$ は極大値をとり、その値は $f(1) = \frac{1}{e}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値：$x = 1$

(2) $f(x)$ の極値：$x=1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。