$3\alpha = 2\alpha + \alpha$ であることを用いて、次の等式を証明する。 (1) $\sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha}$ (2) $\cos{3\alpha} = -3\cos{\alpha} + 4\cos^3{\alpha}$

1. 問題の内容

$3\alpha = 2\alpha + \alpha$ であることを用いて、次の等式を証明する。

(1) $\sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha}$

(2) $\cos{3\alpha} = -3\cos{\alpha} + 4\cos^3{\alpha}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin{3\alpha} = \sin{(2\alpha + \alpha)}$ を加法定理で展開する。

$\sin{(A+B)} = \sin{A}\cos{B} + \cos{A}\sin{B}$ より、

$\sin{3\alpha} = \sin{2\alpha}\cos{\alpha} + \cos{2\alpha}\sin{\alpha}$

倍角の公式 $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ および $\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha}$ を代入する。

$\sin{3\alpha} = (2\sin{\alpha}\cos{\alpha})\cos{\alpha} + (1 - 2\sin^2{\alpha})\sin{\alpha}$

$\sin{3\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos^2{\alpha} + \sin{\alpha} - 2\sin^3{\alpha}$

$\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha}$ を代入する。

$\sin{3\alpha} = 2\sin{\alpha}(1 - \sin^2{\alpha}) + \sin{\alpha} - 2\sin^3{\alpha}$

$\sin{3\alpha} = 2\sin{\alpha} - 2\sin^3{\alpha} + \sin{\alpha} - 2\sin^3{\alpha}$

$\sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha}$

(2) $\cos{3\alpha} = \cos{(2\alpha + \alpha)}$ を加法定理で展開する。

$\cos{(A+B)} = \cos{A}\cos{B} - \sin{A}\sin{B}$ より、

$\cos{3\alpha} = \cos{2\alpha}\cos{\alpha} - \sin{2\alpha}\sin{\alpha}$

倍角の公式 $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ および $\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1$ を代入する。

$\cos{3\alpha} = (2\cos^2{\alpha} - 1)\cos{\alpha} - (2\sin{\alpha}\cos{\alpha})\sin{\alpha}$

$\cos{3\alpha} = 2\cos^3{\alpha} - \cos{\alpha} - 2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}$

$\sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha}$ を代入する。

$\cos{3\alpha} = 2\cos^3{\alpha} - \cos{\alpha} - 2(1 - \cos^2{\alpha})\cos{\alpha}$

$\cos{3\alpha} = 2\cos^3{\alpha} - \cos{\alpha} - 2\cos{\alpha} + 2\cos^3{\alpha}$

$\cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha}$

$\cos{3\alpha} = -3\cos{\alpha} + 4\cos^3{\alpha}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha}$

(2) $\cos{3\alpha} = -3\cos{\alpha} + 4\cos^3{\alpha}$