$S = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+2)}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{1}{k(k+2)}$ を部分分数に分解する。 (2) 和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

$S = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+2)}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{1}{k(k+2)}$ を部分分数に分解する。

(2) 和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{k(k+2)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ とおきます。両辺に $k(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+2) + Bk$

$1 = (A+B)k + 2A$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$2A = 1$

したがって、$A = \frac{1}{2}$、$B = -\frac{1}{2}$ となります。

よって、$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

(2) 和 $S$ を求めます。

$S = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+2)} = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{12} \right) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{12+11}{132} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{23}{132} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{198 - 23}{132} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{175}{132} \right)$

$S = \frac{175}{264}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

(2) $S = \frac{175}{264}$