関数 $f(x) = px^2 + qx + 1$ について、$f'(1) = 4$ と $\int_{0}^{2} f(x) dx = 6$ が成り立つとき、$p$ と $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = px^2 + qx + 1$ について、$f'(1) = 4$ と $\int_{0}^{2} f(x) dx = 6$ が成り立つとき、$p$ と $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2px + q$

次に、$f'(1) = 4$ を用いて、$p$ と $q$ の関係式を求めます。

$f'(1) = 2p(1) + q = 2p + q = 4$

したがって、

$2p + q = 4$ (1)

次に、$\int_{0}^{2} f(x) dx = 6$ を計算します。

$\int_{0}^{2} (px^2 + qx + 1) dx = \left[ \frac{px^3}{3} + \frac{qx^2}{2} + x \right]_{0}^{2} = \frac{p(2^3)}{3} + \frac{q(2^2)}{2} + 2 - 0 = \frac{8p}{3} + 2q + 2$

したがって、

$\frac{8p}{3} + 2q + 2 = 6$

$\frac{8p}{3} + 2q = 4$

両辺を 3 で割って 2 で割ると、

$\frac{4p}{3} + q = 2$

したがって、

$4p + 3q = 6$ (2)

(1) 式と (2) 式から、$p$ と $q$ の値を求めます。

(1) 式より、$q = 4 - 2p$ を (2) 式に代入します。

$4p + 3(4 - 2p) = 6$

$4p + 12 - 6p = 6$

$-2p = -6$

$p = 3$

$p = 3$ を (1) 式に代入します。

$2(3) + q = 4$

$6 + q = 4$

$q = -2$

3. 最終的な答え

$p = 3$, $q = -2$